纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是一种比较松散的数据形态。它有一些节点(vertice),在一些节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也突然总出 过,大伙儿儿通常在节点中储存数据。边表示然后节点之间的地处关系。在树中,大伙儿儿用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是一种特殊的图,但限制性更强一些。

另然后的一种数据形态是很常见的。比如计算机网络,而是由一些节点(计算机可能性路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也可不非要理解为图,地铁站可不非要认为是节点。基于图有一些经典的算法,比如求图中然后节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥大什么的问题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市带有三根河流过,河带有然后小岛。有七座桥桥连接河的两岸和然后小岛。送信员总想知道,有这么然后办法,能不重复的走过7个桥呢?

(一些大什么的问题在一些奥数教材中称为"一笔画"大什么的问题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的可不非要看作由7个边和然后节点构成的然后图:

一些大什么的问题最终被欧拉巧妙的处里。七桥大什么的问题也启发了一门新的数学得科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,可能性某个节点非要起点可能性终点,这么连接它的边的数目非要为偶数个(从然后桥进入,再从另然后桥抛妻弃子)。对于柯尼斯堡的七桥,可能性然后节点都为奇数个桥,而最多非要有然后节点为起点和终点,统统可能性性一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。然后图的所有节点构成然后集合[$V$]。然后边可不非要表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即然后节点。可能性[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,这么图是有向的(directed)。有序的边可不非要理解为单行道,非要沿然后方向行进。可能性[$(v_1, v_2)$]无序,这么图是无向的(undirected)。无序的边可不非要理解成双向都可不非要行进的道路。然后无序的边可不非要看作连接相同节点的然后反向的有序边,统统无向图可不非要理解为有向图的一种特殊状况。

(七桥大什么的问题中的图是无向的。城市中的公交线路可不非而是无向的,比如地处单向环线)

图的然后路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也而是说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为然后节点。路径里边的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,大伙儿儿会在确定某个路径,来从A站到达B站。另然后的路径可能性有不止三根,大伙儿儿往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤状况,来确定三根最佳的路线。可能性地处三根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,这么认为该图中地处环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中地处环路。

 

找到三根环路

可能性从每个节点,到任意然后其它的节点,非要三根路径励志的话 ,这么图是连通的(connected)。对于然后有向图来说,另然后的连通称为强连通(strongly connected)。可能性然后有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,这么认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

可能性将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,另然后的图可能性是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间这么路径相连。

图的实现

一种简单的实现图的办法是使用二维数组。让数组a的每一行为然后节点,该行的不同元素表示该节点与一些节点的连接关系。可能性[$(u, v) \in E$],这么a[u][v]记为1,有然后为0。比如下面的然后带有然后节点的图:

 

可不非要简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

一些实现办法所地处的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而很慢增多。可能性边非要很密集,这么统统数组元素记为0,非要稀疏的一些数组元素记为1,统统何必 是很经济。

更经济的实现办法是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,大伙儿儿建立然后链表。对于任意节点k,可能性有[$(m, k) \in E$],就将该节点塞进到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准办法。比如下面的图,

 

可不非要用如下的数据形态实现:

 

左侧为然后数组,每个数组元素代表然后节点,且指向然后链表。该链表暗带有该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表可不非要分为两偏离 。邻接表所地处的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组偏离 储存节点信息,地处[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,地处[$|E|$]的空间,即边的总数。在一些冗杂的大什么的问题中,定点和边还可能性有一些的附加信息,大伙儿儿可不非要将哪些地方地方附加信息储地处相应的节点可能性边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

里边的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是一种很简单的数据形态。图的组织办法比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法冗杂度。我将在然后介绍一些图的经典算法。

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